کتاب هندسه منیفلد اثر نسرین صادق زاده انتشارات دانشگاه قم

هندسه هم مانند ديگر شاخه هاي رياضيات، از نياز آدمي سرچشمه مي‌گيرد ولي يكي از علت هاي شكل گيري هندسه به عنوان يك دانش انتزاعي، كشش طبيعي آدمي به سمت زيبايي و نظم بوده است. هرچه هندسه، تكامل و رشد يافته و عرصه هاي تازه اي را گشوده نظم و زيبايي خيره كننده ي آن، افزون تر شده است . دين جهت مي‌توان گفت كه هندسه و هنر با هم آميخته است. به عنوان شاهد تاريخي مي‌توان به رياضيدانان دوران رنسانس اشاره داشت كه اغلب آن ها نقاشاني بزرگ بودند. آلبرتي1 (1472 – 1404) كه در سال 1435 ميلادي، اولين كتابش را درباره تجسم اجسام (پرسپكتيو2) نوشت از هندسه به عنوان نخستين نياز نقاش ياد مي‌كرد . نقاشان و هنرمندان آن زمان، براي جان دادن به تصويرها و القاي فضاي سه بعدي به آثار خود، سعي زيادي در روي آوردن به هندسه داشتند. نقاشان زيادي نظير آلبرتي، ديودر3، لئوناردوداوينچي4، همه رياضي‌داناني هنرمند يا هنرمنداني رياضي‌دان بودند. دزارك نيز معماري هنرمند بود كه پيرو همين نياز نقاشان و با اثبات قضيه‌اي كه به نام خود او معروف است، هندسه تصويري5 را بنيان نهاد. وضوع اصلي در هندسه ديفرانسيل، مطالعه توابع مختصات روي منيفلدها، كه موضعي بوده به تنهايي داراي مفهوم هندسي (سرتاسري6) نيستند، ساختار روي منيفلدها ( مثل ساختارهاي ريماني، مختلط و …) و نگاشت هاي بين آن هاست. هندسه ديفرانسيل كه در واقع مطالعه هندسه با استفاده از روش هاي رياضيات محاسباتي و آناليز است، داراي تاريخچه طولاني است. رد پاي آن را به راحتي مي‌توان در گذشته هاي دور يافت. يونانيان قديم زمين را غير مسطح مي‌دانستند بدين دليل كه ستاره هايي را در شمال مشاهده مي‌كردند كه در جنوب اثري از آن ها نبود. آن ها زمين را كروي فرض مي‌كردند، تا حدي به اين دليل كه سايه زمين روي ماه در هنگام خسوف دايره اي شكل است. اما دلايل فلسفي و منطقي ديگر، امكان كروي بودن زمين را بيشتر تاييد مي‌كرد تا آن جا كه اراتستن7 توانست با توجه به گزارش سايه ها از خورشيد در مكان هاي مختلف، شعاع آن را با يك دقت قابل قبولي محاسبه كند. در مقام كاربرد، كار كردن با يك نگاشت بسيار آسان تر از كار كردن روي خود كره بود. پس مسئله اي كه توجه دانشمندان را به خود جلب كرد، ساختن يك نگاشت از زمين به يك رويه (سطح) بود. اما امكان ساخت يك نگاشت دقيق روي كره وجود نداشت. به طور تجربي نيز مي‌توان دريافت كه يك كاغذ مسطح را نمي توان دور يك كره پيچيد به گونه اي كه كره را كامل بپوشاند (يعني هيچ حفره اي روي آن وجود نداشته باشد) مگر آن كه كاغذ در جاهايي جمع يا تا شود. البته براي جلوگيري از اين جمع شدگي مي‌توان تكه هاي كاغذ را بريده و جدا ساخت اما در اين روش نيز در صورت وجود دقت كافي، مي‌توان ديد كه كره كاملا پوشانده نمي شود. در اواسط قرن نوزدهم ميلادي، بيشتر نتايج هندسي، تنها روي فضاهاي خاصي چون رويه ها و يا فضاي با تقارن هاي زياد به دست آمده بود. از دلايل آن مي‌توان به ابداع نشدن كامل تمام نمادهاي رياضيات برداري و مشخص نبودن طريقه پارامتري كردن اشياي هندسي اشاره كرد. با وجود تعريف مفاهيمي چون انحنا از ديدگاه هندسه شهودي اما اين مفهوم به لحاظ محاسباتي كاربردي نبود. تئوري كشساني (الاستيسيته8) در اين زمينه بسيار ياري دهنده بود زيرا براي درك مفاهيمي چون ديورژانس9 و گراديان در مختصات هاي مختلف، بسيار اساسي بود. ه علاوه، آناليز مختلط و معادلات الكترومغناطيس نيز در همان زمان گسترش يافتند و باعث ايجاد دستگاه مختصات جديد و محاسبات با ابعاد بالا شدند. ارهاي افرادي چون ليم10، ريچي11 و لوي- چويتا12 منجر به فهم بهتري ازناورداهاي مختصات گرديد و بدين ترتيب اين ايده كه مختصات، يك راه براي توضيح مفاهيم اساسي است، به وجود آمد. اين تفكر در نهايت منجر به ايجاد مفهوم منيفلد گشت. يك انگيزه اساسي براي ادامه و مطالعه هندسه در آن زمان، باور به مسطح نبودن جهاني بود كه در آن زندگي مي‌كردند. گاوس13 تلاش كرد كه اين ميزان انحنا را اندازه گيري كند اما دريافت كه فضا با تقريب نسبتا خوبي، مسطح است و براي اندازه گيري انحناي آن لازم است كه محاسبات با اندازه واقعي زمين انجام شود. اما ريمان14 به عنوان يك نظريه غير رسمي اعلام كرد كه خورشيد ممكن است واقعا خودش يك فضاي خميده باشد كه سياره ها با يك نيرويي، در حال دور شدن از خط راست اما در امتداد ژئودزيك هاي يك فضاي خميده هستند. درست مثل يك ورق لاستيكي كشيده شده كه يك جسم سنگين در وسط آن قرار داده شده است و يك گوي روي آن با يك سرعت مشخص به سمت مركز به حر كت در آمده است. در اين حركت، گوي براي مدتي يك حركت حلزوني (پيچشي) حول مركز خواهد داشت. اين مثال چگونگي حركت سيارگان را نشان مي‌دهد بدون آن كه صفحه لاستيكي ديده شود. شكل I- 1 : مدار دايره اي : مدار بيضوي : مدار بيكران اين ايده مورد توجه قرار نگرفت تا اينكه نظريه نسبيت توسط اينشتين به طور كامل ارائه شد. براي مطالعه بحث هاي جالب در اين زمينه، به مراجعه شود. كار كردن با مختصات كه در واقع به نوعي ناديده گرفتن ساختار سرتاسري است، منيفلدها را تبديل به يك مسئله پيچيده ساخته بود. تا اين كه در دهه 1900 ميلادي بود كه اهميت ساختار سرتاسري به طور واقعي مورد توجه قرار گرفت و بدين منظور، ابزارهاي توپولوژي جبري نظير قضيه شاخص15 ايجاد شدند. مسئله اساسي كه در اين جا مي‌تواند مطرح شود اين است كه “آيا هر ميدان با كرل16 صفر يك گراديان است؟”. به طور دقيق تر، آيا براي ميدان برداري روي مجموعه باز، با شرط مي‌توان تابع اي يافت كه ؟ جواب تقريبا مثبت است. البته استثناهايي نيز وجود دارد. براي مثال، را صفحه منهاي مبدا و ميدان برداري را در نظر بگيريد كه گراديان تابع ، تابع زاويه اي در مختصات قطبي، است. اما روي صفحه منهاي مبدا، يك تابع نيست. پوانكاره17 اولين كسي بود كه اين استثناها را مورد توجه قرار داد. منيفلدها داراي كاربردهاي مهمي در علم مكانيك نيز هستند. مطالعه قيدها روي دستگاه هاي مكانيكي به اندازه خود مكانيك قدمت دارد و به راحتي مي‌توانند به عنوان يك منيفلد در نظر گرفته شوند. براي مثال، يك پاندول را به عنوان يك دستگاه در در نظر بگيريد كه داراي يك نيروي توليد شده در طول ميله است كه دقيقا براي جلوگيري از كشيده شدن آن كافيست. اما ساده تر آن است كه آن را به عنوان يك دستگاه روي دايره در نظر بگيريد. به طور كلي مي‌توان دستگاه هاي چند ذره اي مقيد را به منيفلدهاي از نوع ديگر كاهش داد كه دستگاه ساده تر و با مختصات كمتري حاصل شود. اين روش ها براي اجسام صلب (با 6 درجه آزادي) و حتي براي مايعات ( با بي نهايت درجه آزادي اما با شرط تراكم ناپذيري) مناسب است. وجود كاربردهاي فراوان منيفلدها در ديگر علوم، انگيزه اي شد براي اين كه رياضيدانان به مطالعه منيفلدها با ساختارهاي ديگر، غير از متريكي كه ريمان اساسا به آن علاقمند بود، روي آورند. از اين رو است كه هندسه هاي ديگري براي مثال هندسه مختلط و هندسه تماسي18 از هندسه ريماني منشعب شده است كه هر دو جزئي از هندسه ديفرانسيل هستند. از ديگر كاربردهاي هندسه ديفرانسيل مي‌توان به كاربرد منيفلدها در مهندسي الكترونيك اشاره داشت. براي مثال، منيفلدهاي استيفل19 براي مشخص كردن مكان هاي برج هاي تلفن همراه به وجود آمدند. منيفلدها همچنين در اقتصاد و آمار نيز داراي كاربردهاي فراواني است. در پايان، نظريه هاي بسياري در فيزيك نظري به طور طبيعي به عنوان ساختار هندسه ديفرانسيل روي منيفلدها در نظر گرفته مي‌شوند. نظر به كاربرد فراوان هندسه در علوم مختلف و همچنين لزوم استفاده از هندسه منيفلدها در رياضيات مقدماتي و پيشرفته در مقاطع تحصيلات تكميلي، تدوين كتاب در زمينه آموزش هندسه منيفلدها ضروري به نظر مي‌رسد. هرچند كتاب هاي بسياري به زبان هاي مختلف در اين زمينه تدوين شده است اما كتاب هاي انگشت شماري به زبان فارسي مي‌توان يافت كه سرفصل جامعي از هندسه منيفلدها را بيان كرده باشند. يكي از بهترين اين كتاب ها به زبان فارسي، كتاب هندسه منيفلد 1 تاليف استاد ارجمندم، جناب آقاي دكتر بهروز بيدآباد، است . دين منظور نگارنده سعي داشته تا با گردآوري مجموعه حاضر، نگارشي ديگر از اين مفاهيم را به همراه مثال ها براي مشاهده بيشتر محاسبات عملي و تصاوير مرتبط به منظور فهم هندسي بهتر، به علاقمندان ارائه نمايد. در اين كتاب با اشاره به مفاهيم و محاسبات رياضيات چند متغيره و فضاهاي برداري، به تعميم آن ها روي منيفلد پرداخته مي‌شود. رض نگارنده آن است كه خواننده با مفاهيم رياضيات يك متغيره و چند متغيره، محاسبات برداري، فضاهاي برداري، جبرخطي و ماتريس ها آشنايي كامل دارد. همچنين آشنايي با توپولوژي، آناليز حقيقي، خم ها و رويه ها و معادلات ديفرانسيل در روند مطالعه اين كتاب بسيار موثر است. خواننده براي مطالعه پيشرفته تر حساب ديفرانسيل و انتگرال و مفاهيم آن در ابعاد بالا به گونه اي كه قابل تعميم به منيفلدها باشد، مي‌تواند به مراجعه كند. به منظور راحتي خواننده، مروري مختصر بر بعضي از موارد مورد نياز، در فصل پيوست اين كتاب ارائه شده است.